Determine o perímetro de um triângulo isósceles em função da projeção a da altura relativa à base do triângulo sobre um dos lados congruentes, e em função dessa altura
.
Passo 1
O enunciado pede o perímetro
de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem
e cuja base mede
. A altura relativa à base vale
e a projeção dessa altura sobre um dos lados iguais vale
. Vamos usar geometria elementar de triângulos retângulos e o teorema da projeção de um cateto sobre a hipotenusa para achar
e
em função de
e
e, finalmente, obter
.
Passo 2
Considere o triângulo isósceles
com
, base
e altura
de
sobre
. Como é isósceles,
é o ponto médio de
, logo
. No triângulo retângulo
temos hipotenusa
e catetos
e
.
Passo 3
No triângulo retângulo
, a projeção de
sobre a hipotenusa
(isto é, o segmento cujo comprimento é
) satisfaz o teorema da projeção de cateto:
Desse modo,
Passo 4
Ainda em
, aplicamos Pitágoras para achar
:
Então
Passo 5
O perímetro é