Determine o perímetro de um triângulo isósceles em função da projeção a da altura relativa à base do triângulo sobre um dos lados congruentes, e em função dessa altura h.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro P de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem s e cuja base mede b. A altura relativa à base vale h e a projeção dessa altura sobre um dos lados iguais vale a. Vamos usar geometria elementar de triângulos retângulos e o teorema da projeção de um cateto sobre a hipotenusa para achar s e b em função de a e h e, finalmente, obter P=2s+b.

Passo 2

Considere o triângulo isósceles ABC com AB=AC=s, base BC=b e altura AD=h de A sobre BC. Como é isósceles, D é o ponto médio de BC, logo BD=tfrac b2. No triângulo retângulo ABD temos hipotenusa AB=s e catetos AD=h e BD=tfrac b2.

Passo 3

No triângulo retângulo ABD, a projeção de AD sobre a hipotenusa AB (isto é, o segmento cujo comprimento é a) satisfaz o teorema da projeção de cateto:
a = (AD)^2AB = h^2s,
Desse modo,
s = h^2a,

Passo 4

Ainda em ABD, aplicamos Pitágoras para achar tfrac b2:
l(BDr)^2 = s^2 - h^2 ;Longrightarrow; b^24 = l(h^2ar)^2 - h^2 = h^4a^2 - h^2 = h^2l(h^2a^2-1r),
Então
BD = b2 = ha,raizh^2 - a^2 Longrightarrow b = 2,ha,raizh^2 - a^2,

Passo 5

O perímetro é
P = 2s + b = 2h^2a ;+; 2,ha,raizh^2 - a^2 = 2ha,l(h + raizh^2 - a^2r)

Resposta

P ;=; 2s + b ;=; 2h^2a ;+; 2ha,raizh^2 - a^2 ;=; 2ha,l(h + raizh^2 - a^2r)

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