As bases de um trapézio retângulo são b e 2b e um dos ângulos mede 60^circ. Calcule a altura.

Passo 1

O enunciado diz que temos um trapézio retângulo cujas bases medem b (base menor) e 2b (base maior), e que um dos seus ângulos é de 60^circ. O que queremos é a altura h. Para resolver vamos:
bul<=t Colocar o trapézio num sistema de coordenadas de modo a facilitar o cálculo
bul<=t Usar o produto escalar para relacionar o ângulo de 60^circ com os comprimentos dos lados

Passo 2

Posicionamos o trapézio assim:
bul<=t A base maior ,2b fica sobre o eixo x, de (0,0) até (2b,0) bul<=t O lado vertical (leg) que forma os ângulos retos é o lado esquerdo, de (0,0) até (0,h) bul<=t A base menor b vai de (0,h) até (b,h) bul<=t O lado oblíquo (perna direita) vai de (2b,0) até (b,h)

Passo 3

O ângulo de 60^circ ocorre no vértice (2b,0). Para expressá-lo pelo produto escalar, definimos os vetores que saem desse ponto em direção às extremidades dos lados:
u = (0,0)-(2b,0)=(-2b,0),
v = (b,h)-(2b,0)=(-b,h)

Passo 4

O cosseno do ângulo entre u e v é dado por
costheta =ucdotv|u|;|v| =(-2b)cdot(-b)+0cdot hl|(-2b,0)r|;l|(-b,h)r| =2b^22braizb^2+h^2 =braizb^2+h^2
Como esse ângulo é theta=60^circ, temos
braizb^2+h^2=cos60^circ=tfrac12

Passo 5

Isolando h:
braizb^2+h^2=tfrac12 Longrightarrow 2b=raizb^2+h^2 Longrightarrow 4b^2=b^2+h^2 Longrightarrow h^2=3b^2 Longrightarrow h=braiz3

Resposta

A altura do trapézio é braiz3.

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