Seja AB=3 r, tangente em A a uma circunferência de centro O e raio r. Traça-se por B a tangente B C, que tem C por ponto de contato. Calcule a distância de C à reta over<=ftrightarrowA B.

Passo 1

Resumo do enunciado e plano de ataque:
Temos uma circunferência de centro O e raio r. A reta AB é tangente à circunferência em A e satisfaz AB=3r. De um ponto B externo à circunferência traça-se a tangente BC, com ponto de contato C. Queremos a distância de C à reta suporte de AB.
Conteúdo e ferramentas: geometria analítica no plano, equação da circunferência, condição de tangência l((C-B)cdot OC=0r) e fórmula da distância ponto–reta.

Passo 2

Definimos um sistema de coordenadas conveniente:
O=(0,0). Como AB é tangente em A, temos OAperp AB, então basta colocar
A=(0,r), AB é horizontal (reta y=r), B=(3r,r) é

Passo 3

Buscamos C=(x,y) sobre a circunferência
x^2+y^2=r^2
e tal que a reta BC seja tangente, ou seja, o vetor BC=(x-3r,y-r) seja perpendicular a OC=(x,y). Logo
(x-3r,y-r)cdot(x,y)=0 ;Longrightarrow; x(x-3r)+y(y-r)=0
Substituindo x^2+y^2=r^2 nessa condição:
r^2-3r,x-r,y=0 ;Longrightarrow; y=r-3x
Em seguida
x^2+(r-3x)^2=r^2 ;Longrightarrow; 10x^2-6r,x=0 ;Longrightarrow; x=0 (descarta-se, dá A) ou x=3r5 á
Então
y=r-3l(tfrac3r5r) =r-tfrac9r5 =-tfrac4r5,
isto é
C=l(tfrac3r5,-tfrac4r5r)

Passo 4

A reta suporte de AB é y=r. A distância de C=(xC,yC) a essa reta é
l|yC-rr| =l|-tfrac4r5-rr| =l|-tfrac9r5r| =9r5

Resposta

9r5

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