Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

Passo 1

O enunciado pede um polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.
Conteúdo: combinatória em polígonos.
Fórmula necessária: um polígono de n lados tem
n(n-3)2
diagonais.

Passo 2

Para que o número de diagonais seja quatro vezes o número de lados, montamos a equação
n(n-3)2 = 4n
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
n(n-3) = 8n
Desenvolvendo, chega-se a
n^2 - 3n = 8n Longrightarrow n^2 - 11n = 0

Passo 3

A equação n^2 - 11n = 0 fatoriza em
n(n-11)=0,
cuja soluções são n=0 ou n=11. Como um polígono deve ter pelo menos 3 lados, descartamos n=0 e ficamos com
n = 11

Resposta

O polígono é de 11 lados (hendecágono).

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