Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28 , determine o polígono com maior número de diagonais.
Passo 1
O enunciado diz que há três polígonos com número de lados expressos por inteiros consecutivos e que o total de diagonais desses três polígonos é
. O que precisamos aqui é da fórmula que dá o número de diagonais de um polígono de
lados, que é
Passo 2
Vamos chamar de
o número de lados do menor polígono. Os três polígonos terão, então,
,
e
lados. Seus números de diagonais serão
Passo 3
A soma dessas três quantidades é dada como
, logo
Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Passo 4
Expandindo cada termo:
Somando:
A equação fica
Passo 5
A equação
fatoriza em
. Como
deve ser inteiro positivo e pelo menos
, temos
. Assim os números de lados são
,
e
.
Passo 6
O polígono com maior número de lados tem
lados. Seu número de diagonais é
Resposta
O polígono com maior número de diagonais é o de
lados (heptágono), que tem
diagonais.