Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28 , determine o polígono com maior número de diagonais.

Passo 1

O enunciado diz que há três polígonos com número de lados expressos por inteiros consecutivos e que o total de diagonais desses três polígonos é 28. O que precisamos aqui é da fórmula que dá o número de diagonais de um polígono de n lados, que é
D(n)=n(n-3)2

Passo 2

Vamos chamar de n o número de lados do menor polígono. Os três polígonos terão, então, n, n+1 e n+2 lados. Seus números de diagonais serão
D(n)=n(n-3)2, D(n+1)=(n+1)l((n+1)-3r)2=(n+1)(n-2)2,
D(n+2)=(n+2)l((n+2)-3r)2=(n+2)(n-1)2

Passo 3

A soma dessas três quantidades é dada como 28, logo
n(n-3)2+(n+1)(n-2)2+(n+2)(n-1)2=28
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
n(n-3)+(n+1)(n-2)+(n+2)(n-1)=56

Passo 4

Expandindo cada termo:
n(n-3)=n^2-3n, (n+1)(n-2)=n^2-n-2, (n+2)(n-1)=n^2+n-2
Somando:
n^2-3n + n^2-n-2 + n^2+n-2 =3n^2-3n-4
A equação fica
3n^2-3n-4=56 Longrightarrow 3n^2-3n-60=0 Longrightarrow n^2-n-20=0

Passo 5

A equação n^2-n-20=0 fatoriza em (n-5)(n+4)=0. Como n deve ser inteiro positivo e pelo menos 3, temos n=5. Assim os números de lados são 5, 6 e 7.

Passo 6

O polígono com maior número de lados tem 7 lados. Seu número de diagonais é
D(7)=7,(7-3)2=7cdot42=14

Resposta

O polígono com maior número de diagonais é o de 7 lados (heptágono), que tem 14 diagonais.

Exercícios de Livros Relacionados