Determine os pontos P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desigualdades:
2 caso: (2 x+y+2)(x-2 y-1) >= 0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos (x,y) tais que
(2x + y + 2),(x - 2y - 1);>=;0
Usaremos o fato de que um produto de dois fatores é não-negativo se e somente se ambos forem não-negativos ou ambos não-positivos.

Passo 2

Caso 1: ambos fatores são não-negativos.
Isto é, resolvemos o sistema
2x + y + 2 ;>=;0, x - 2y - 1;>=;0
Da primeira desigualdade vem
y ;>=;-2x - 2,
e da segunda
x - 1 ;>=;2y Longrightarrow y ;<=;x-12
Logo a porção desta solução é
R1 = l(x,y)m|y>= -2x-2; e ;y<=x-12r

Passo 3

Caso 2: ambos fatores são não-positivos.
Isto é, resolvemos
2x + y + 2 ;<=;0, x - 2y - 1;<=;0
Da primeira vem
y ;<=;-2x - 2,
e da segunda
x - 1 ;<=;2y Longrightarrow y ;>=;x-12
Logo a porção desta solução é
R2 = l(x,y)m|y<= -2x-2; e ;y>=x-12r

Passo 4

A solução final é a união dos dois casos, pois basta um ou outro para que o produto seja >=0.

Resposta

P =;R1;cup;R2 =l(x,y)m|l(2x+y+2>=0;wed>=;x-2y-1>=0r) ;vee;l(2x+y+2<=0;wed>=;x-2y-1<=0r)r

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