Determine os pontos P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desigualdades:
3 caso: 2 x+y-63 x-y+3 >= 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a desigualdade racional
2x + y - 63x - y + 3 >= 0
Aqui o conteúdo é análise de sinal de uma fração. Vamos chamar
N(x,y) = 2x + y - 6, D(x,y) = 3x - y + 3,
de numerador e denominador, respectivamente, e estudar onde a fração é não-negativa, lembrando que não podemos ter D(x,y)=0.

Passo 2

Encontramos as retas que anulariam numerador e denominador:
  • N(x,y)=0
2x + y - 6 = 0 Long<=ftrightarrow y = -2x + 6
  • D(x,y)=0
3x - y + 3 = 0 Long<=ftrightarrow y = 3x + 3
Essas duas linhas dividem o plano em quatro regiões. Seu ponto de interseção é solução de
-2x + 6 = 3x + 3 ;Longrightarrow; 5x = 3 ;Longrightarrow; x = tfrac35, y = 3l(tfrac35r) + 3 = tfrac245
Esse ponto l(tfrac35,tfrac245r) fica simultaneamente em N=0 e D=0, logo é excluído da solução.

Passo 3

Para que ND>=0 precisamos ou
1) N>=0 e D>0, ou
2) N<=0 e D<0.
Traduzindo em termos de y:
1) 2x+y-6>=0 y>= -2x+6, e 3x-y+3>0 y<3x+3.
2) 2x+y-6<=0 y<= -2x+6, e 3x-y+3<0 y>3x+3.

Passo 4

Reunindo as duas possibilidades, a solução é
l(x,y)mid y<3x+3,;y>= -2x+6r ;cup; l(x,y)mid y>3x+3,;y<= -2x+6r,
com a ressalva de que a reta y=3x+3 (denominador zero) não pertence à solução, e excluímos também o ponto l(tfrac35,tfrac245r) onde N=D=0.

Resposta

(x,y)inR^2 mid [,y<3x+3 e y>= -2x+6,] cup [,y>3x+3 e y<= -2x+6,]

Exercícios de Livros Relacionados