Os vértices de um triângulo são A(1,0), B(3,5) e C(-1,1).
a) Obtenha o baricentro G do triângulo.
b) Mostre que os triângulos ABG , ACG e BCG têm a mesma área.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices A(1,0), B(3,5) e C(-1,1). Pede-se:
  • (a) o baricentro G, que em coordenadas é a média das vértices;
  • (b) mostrar que triang<= ABG, triang<= ACG e triang<= BCG têm a mesma área.
    Para isso vamos usar a fórmula do baricentro e a expressão de área de um triângulo em coordenadas (determinante).

Passo 2

O baricentro G(xG,yG) de um triângulo cujos vértices são (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) é dado por
xG = x1+x2+x33, yG = y1+y2+y33
Aqui,
xG = 1 + 3 + (-1)3 = 33 = 1, yG = 0 + 5 + 13 = 63 = 2
Logo G(1,2).

Passo 3

A área de um triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) é
Area = 12 l|x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)r|
Aplicando em A(1,0), B(3,5), C(-1,1):
De<aABC &= 12l|1,(5-1) +3,(1-0) +(-1),(0-5)r| &= 12l|1cdot4 +3cdot1 -1cdot(-5)r| = 12l|4 + 3 +5r| = 12cdot12 =6

Passo 4

Agora calculamos a área de cada sub-triângulo usando a mesma fórmula:
  1. triang<= ABG com A(1,0), B(3,5), G(1,2):
De<aABG = 12l|1,(5-2) +3,(2-0) +1,(0-5)r| = 12l|1cdot3 +3cdot2 +1cdot(-5)r| = 12l|3 +6 -5r| = 12cdot4 =2
  1. triang<= ACG com A(1,0), C(-1,1), G(1,2):
De<aACG = 12l|1,(1-2) +(-1),(2-0) +1,(0-1)r| = 12l|-1 -2 -1r| = 12cdot4 =2
  1. triang<= BCG com B(3,5), C(-1,1), G(1,2):
De<aBCG = 12l|3,(1-2) +(-1),(2-5) +1,(5-1)r| = 12l|-3 +3 +4r| = 12cdot4 =2
Cada área vale 2, ou seja, todas são iguais e somam 6, confirmando que cada uma é tfrac13 da área de ABC.

Resposta

(a) G(1,2).
(b) De<aABG=De<aACG=De<aBCG=2, logo têm a mesma área.

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