Forneça a equação da circunferência simétrica de x^2+y^2-3 x-5 y-7=0 em relação ao eixo das ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a circunferência simétrica de
x^2+y^2-3x-5y-7=0
em relação ao eixo das ordenadas. Isso é geometria analítica: vamos obter primeiro a forma padrão da circunferência original (centro e raio) e depois refletir o centro em relação ao eixo y.

Passo 2

Começamos completando quadrados na equação original. Agrupando termos em x e em y:
x^2-3x + y^2-5y =7
Agora
x^2-3x = l(x-tfrac32r)^2 - l(tfrac32r)^2, y^2-5y = l(y-tfrac52r)^2 - l(tfrac52r)^2
Substituindo,
l(x-tfrac32r)^2 - tfrac94 + l(y-tfrac52r)^2 - tfrac254 = 7

Passo 3

Isolando os quadrados, obtemos a forma padrão:
l(x-tfrac32r)^2 + l(y-tfrac52r)^2 = 7 + tfrac94 + tfrac254 = tfrac312
Logo o centro é l(tfrac32,tfrac52r) e o raio é raiztfrac312.

Passo 4

Para refletir essa circunferência no eixo das ordenadas, basta trocar o sinal da coordenada x do centro, mantendo y. Assim o novo centro é
l(-tfrac32,tfrac52r)
e o raio permanece raiztfrac312. A forma padrão da circunferência simétrica é
l(x + tfrac32r)^2 + l(y - tfrac52r)^2 = tfrac312

Passo 5

Expandindo para a forma geral x^2+y^2+Dx+Ey+F=0:
(x + tfrac32)^2 = x^2 + 3x + tfrac94, (y - tfrac52)^2 = y^2 - 5y + tfrac254
Somando e subtraindo tfrac312:
x^2+y^2+3x -5y + l(tfrac94 + tfrac254 - tfrac312r)=0
Como tfrac94+tfrac254=tfrac172 e tfrac172-tfrac312=-7, fica
x^2+y^2+3x-5y-7=0

Resposta

x^2+y^2+3x-5y-7=0

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