Determine os possíveis valores de n>1 a fim de que 1n gere uma dízima periódica simples (sem anteperíodo) e: a) seu período tenha comprimento 2; b) seu período tenha comprimento 4.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros n>1 tais que tfrac1n em decimal seja uma dízima periódica simples (isto é, sem anteperíodo) e cujo período tenha comprimento dado ( 2 na alínea a e 4 na alínea b). Para que tfrac1n seja dízima simples é necessário e suficiente que gcd(n,10)=1; o comprimento do período é então o menor inteiro k tal que
10^k equiv 1 pmod n,
isto é, a ordem de 10 no grupo multiplicativo (Z/nZ)^*.

Passo 2

Formalizando, queremos gcd(n,10)=1 e
ordn(10)=k,
onde k é o comprimento do período. Isso equivale a
10^k equiv 1pmod n e 10^dnotequiv1pmod n forall,d<k

Passo 3

(a) Para ter período k=2 precisamos de
10^2-1=99equiv0pmod n Longrightarrow nmid99,
mas não podemos ter 10^1equiv1pmod n, isto é, nnotmid(10-1)=9. Além disso gcd(n,10)=1 já está garantido por nmid99.
Os divisores de 99 maiores que 1 são 3,9,11,33,99; excluindo 3,9 (divisores de 9) resta
nin11,33,99

Passo 4

(b) Para ter período k=4 precisamos de
10^4-1=9999,10^2-1=99,
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n mid 9999 e n nmid 99
Fazendo a fatoração 9999=3^2cdot11cdot101, seus divisores maiores que 1 são
3,9,11,33,99,101,303,909,1111,3333,9999
Excluindo os que dividem 99 (i.e.\ 3,9,11,33,99) restam
n in 101,303,909,1111,3333,9999,
e para cada um deles verifica-se que 10 não tem ordem menor que 4.

Resposta

a) 11,33,99
b) 101,303,909,1111,3333,9999

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