Determine os possíveis valores de
a fim de que
gere uma dízima periódica simples (sem anteperíodo) e: a) seu período tenha comprimento 2; b) seu período tenha comprimento 4.
Passo 1
O enunciado pede todos os inteiros
tais que
em decimal seja uma dízima periódica simples (isto é, sem anteperíodo) e cujo período tenha comprimento dado (
na alínea a e
na alínea b). Para que
seja dízima simples é necessário e suficiente que
; o comprimento do período é então o menor inteiro
tal que
isto é, a ordem de
no grupo multiplicativo
.
Passo 2
Formalizando, queremos
e
onde
é o comprimento do período. Isso equivale a
Passo 3
(a) Para ter período
precisamos de
mas não podemos ter
, isto é,
. Além disso
já está garantido por
.
Os divisores de maiores que
são
; excluindo
(divisores de
) resta
Os divisores de
Passo 4
(b) Para ter período
precisamos de
logo
Fazendo a fatoração
, seus divisores maiores que
são
Excluindo os que dividem
(i.e.\
) restam
e para cada um deles verifica-se que
não tem ordem menor que
.
Resposta
a)
b)
b)