Se sumn=1^infty an é convergente e sumn=1^infty bn é divergente, mostre que sumn=1^infty(an+bn) varepsilon divergente.

Passo 1

O enunciado diz que a série
sumn=1^inftyan
converge e que
sumn=1^inftybn
diverge. Precisamos mostrar que
sumn=1^inftyl(an+bnr)
é divergente. Vamos usar as propriedades de soma e diferença de séries através dos seus somatórios parciais.

Passo 2

Defina os somatórios parciais
An=sumk=1^nak, Bn=sumk=1^nbk, Sn=sumk=1^nl(ak+bkr)
Note que
Sn=An+Bn

Passo 3

Como sum an converge, existe limite finito
limntoinftyAn=AinR
Suponha, por contradição, que sum(an+bn) converja, isto é,
limntoinftySn=SinR

Passo 4

Da relação Sn=An+Bn segue
Bn=Sn-An
Tomando limite em ambos os lados,
limntoinftyBn =limntoinftySn -limntoinftyAn =S - A,
que é finito. Logo sum bn converge, contradizendo a hipótese de que sum bn diverge.

Resposta

Como a hipótese de convergência de sum(an+bn) leva a uma contradição, concluímos que
sumn=1^inftyl(an+bnr)
é divergente.

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