Se
é convergente
é divergente, mostre que
divergente.
Passo 1
O enunciado diz que a série
converge e que
diverge. Precisamos mostrar que
é divergente. Vamos usar as propriedades de soma e diferença de séries através dos seus somatórios parciais.
Passo 2
Defina os somatórios parciais
Note que
Passo 3
Como
converge, existe limite finito
Suponha, por contradição, que
converja, isto é,
Passo 4
Da relação
segue
Tomando limite em ambos os lados,
que é finito. Logo
converge, contradizendo a hipótese de que
diverge.
Resposta
Como a hipótese de convergência de
leva a uma contradição, concluímos que
é divergente.