Prove que são irracionais:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que as três quantidades abaixo não podem ser números racionais:
O conteúdo aqui é prova de irracionalidade por contradição: assumimos que cada uma delas é racional e, a partir disso, deduzimos que algum número já conhecido como irracional (por exemplo
ou
) seria racional, o que é absurdo.
Passo 2
Prova de que
é irracional.
Suponha, por absurdo, que exista tal que
Suponha, por absurdo, que exista
Então
Elevando ao quadrado,
Isolando
,
o que mostraria que
é racional. Mas sabemos que
. Contradição. Logo
é irracional.
Passo 3
Prova de que
é irracional.
Seja
Seja
e suponha que
. Defina
e
. Então
Logo
Se
fosse racional, a razão à direita seria racional, implicando
. Mas é clássico que
é irracional (se fosse racional
, ao cubar teríamos
, e daí
, etc., contradição). Portanto
não pode ser racional.
Passo 4
Prova de que
é irracional.
Suponha que exista tal que
Suponha que exista
Então
Elevando ao cubo,
Isolando
,
o que forçaria
a ser racional. Contradição. Logo
é irracional.
Resposta
As três expressões são irracionais.