Prove que são irracionais: raiz3-raiz2, raiz[3]2+raiz3 e raiz[3]3-raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as três quantidades abaixo não podem ser números racionais:
raiz3-raiz2, raiz[3]2+raiz[3]3, raiz[3]3-raiz2
O conteúdo aqui é prova de irracionalidade por contradição: assumimos que cada uma delas é racional e, a partir disso, deduzimos que algum número já conhecido como irracional (por exemplo raiz2 ou raiz[3]6) seria racional, o que é absurdo.

Passo 2

Prova de que raiz3-raiz2 é irracional.
Suponha, por absurdo, que exista rinQ tal que
raiz3-raiz2=r
Então
raiz3=r+raiz2
Elevando ao quadrado,
3 = (r+raiz2)^2 = r^2 + 2 + 2rraiz2 Longrightarrow 1 - r^2 = 2r,raiz2
Isolando raiz2,
raiz2 = 1 - r^22r,
o que mostraria que raiz2 é racional. Mas sabemos que raiz2notinQ. Contradição. Logo raiz3-raiz2 é irracional.

Passo 3

Prova de que raiz[3]2+raiz[3]3 é irracional.
Seja
beta = raiz[3]2 + raiz[3]3,
e suponha que betainQ. Defina a=raiz[3]2 e b=raiz[3]3. Então
beta^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 2 + 3 + 3,ab,beta = 5 + 3beta,raiz[3]6
Logo
beta^3 - 5 = 3beta,raiz[3]6 Longrightarrow raiz[3]6 = beta^3 - 53beta
Se beta fosse racional, a razão à direita seria racional, implicando raiz[3]6inQ. Mas é clássico que raiz[3]6 é irracional (se fosse racional p/q, ao cubar teríamos 6q^3=p^3, e daí 2mid p^3Rightarrow2mid p, etc., contradição). Portanto beta não pode ser racional.

Passo 4

Prova de que raiz[3]3-raiz2 é irracional.
Suponha que exista sinQ tal que
raiz[3]3-raiz2=s
Então
raiz[3]3=s+raiz2
Elevando ao cubo,
3 = (s+raiz2)^3 = s^3 + 3s^2raiz2 + 6s + 2raiz2 = s^3 + 6s + (3s^2+2)raiz2
Isolando raiz2,
3 - s^3 - 6s = (3s^2 + 2)raiz2 Longrightarrow raiz2 = 3 - s^3 - 6s3s^2 + 2,
o que forçaria raiz2 a ser racional. Contradição. Logo raiz[3]3-raiz2 é irracional.

Resposta

As três expressões são irracionais.

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