Determine o quociente e o resto das divisões:
x^3-3 x^2+2 x+1 div x^2-x+1.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
p(x)=x^3-3x^2+2x+1
pelo polinômio
d(x)=x^2-x+1
O conteúdo aqui é divisão de polinômios (algoritmo da chave), em que vamos buscar um quociente q(x) e um resto r(x) tais que
p(x)=d(x),q(x)+r(x),
com deg(r)<deg(d)=2.

Passo 2

Dividimos o termo de maior grau de p(x) pelo termo de maior grau de d(x):
x^3x^2=x
Esse é o primeiro termo do quociente, então começamos com q(x)=x. Multiplicamos d(x) por x e subtraímos de p(x):
xcdot d(x)=x^3 - x^2 + x,
p(x)-x,d(x)=(x^3 -3x^2 +2x +1)-(x^3 -x^2 +x)=-2x^2 +x +1

Passo 3

Agora repetimos o processo com o polinômio resultante -2x^2 +x +1. Dividimos o termo -2x^2 por x^2:
-2x^2x^2=-2
Esse é o segundo termo do quociente, atualizando q(x)=x-2. Multiplicamos d(x) por -2 e subtraímos:
-2cdot d(x)=-2x^2 +2x -2,
(-2x^2 +x +1)-(-2x^2 +2x -2)=-x+3

Passo 4

O polinômio obtido -x+3 tem grau 1, que é menor que deg(d)=2, então ele é o resto final da divisão.

Resposta

Quociente: x-2
Resto: -x+3

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