Determine os valores de x tais que:
|x-1|^2=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x reais que satisfazem
lvert x-1rvert^2 = lvert 2x+1rvert
O conteúdo aqui é manipulação de valor absoluto e resolução de equações polinomiais por meio de análise de casos.

Passo 2

Para lidar com valor absoluto, observe o sinal de 2x+1. Temos dois casos:
  • Caso A: 2x+1>=0, ou seja, x>= -tfrac12, em que lvert 2x+1rvert=2x+1.
  • Caso B: 2x+1<0, ou seja, x< -tfrac12, em que lvert 2x+1rvert=-(2x+1)=-2x-1.

Passo 3

No Caso A ( x>= -tfrac12) a equação vira
(x-1)^2 = 2x+1
Expandindo e rearranjando:
x^2 - 2x + 1 = 2x + 1 Longrightarrow x^2 - 4x = 0 Longrightarrow x(x-4)=0
Assim, x=0 ou x=4. Ambos satisfazem x>= -tfrac12.

Passo 4

No Caso B ( x< -tfrac12) a equação fica
(x-1)^2 = -2x - 1
Isto é,
x^2 - 2x + 1 = -2x - 1 Longrightarrow x^2 + 2 = 0 Longrightarrow x^2 = -2,
que não tem solução real. Logo, não surge raiz nova.

Passo 5

As únicas soluções reais vêm do Caso A e são
x = 0 e x = 4

Resposta

x=0 ou x=4

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