Determine os valores de x tais que:
|x-1|^2=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os lvert x-1rvert^2 = lvert 2x+1rvert reais que satisfazem
O conteúdo aqui é manipulação de valor absoluto e resolução de equações polinomiais por meio de análise de casos.

Passo 2

Para lidar com valor absoluto, observe o sinal de . Temos dois casos:
  • Caso A: , ou seja, , em que .
  • Caso B: , ou seja, , em que .

Passo 3

No Caso A ( (x-1)^2 = 2x+1 ) a equação vira
x^2 - 2x + 1 = 2x + 1 Longrightarrow x^2 - 4x = 0 Longrightarrow x(x-4)=0
Expandindo e rearranjando:
Assim, ou . Ambos satisfazem .

Passo 4

No Caso B ( (x-1)^2 = -2x - 1 ) a equação fica
x^2 - 2x + 1 = -2x - 1 Longrightarrow x^2 + 2 = 0 Longrightarrow x^2 = -2,
Isto é,
que não tem solução real. Logo, não surge raiz nova.

Passo 5

As únicas soluções reais vêm do Caso A e são
x = 0 e x = 4

Resposta

ou