Determine o raio do círculo circunscrito e os lados congruentes de um triângulo isósceles ABC , cuja base BC mede 18 cm , sendo 6 cm a medida do raio do círculo inscrito nesse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede o raio R do círculo circunscrito e os comprimentos dos lados iguais de um triângulo isósceles ABC com base BC=18 cm e raio do círculo inscrito r=6 cm. Vamos usar:
  1. A definição de inraio
De<a = r,s,
onde De<a é a área do triângulo e s o semiperímetro.
2. A fórmula da área de um isósceles de base a e lados iguais x:
De<a = a4raiz4x^2-a^2

Passo 2

Seja a=18 cm e x=AB=AC. O semiperímetro é
s=a+2x2=18+2x2=9+x
Pela fórmula do inraio,
De<a = r,s = 6,(9+x)=54+6x
Pela fórmula do isósceles,
De<a = 184raiz4x^2-18^2 =92raiz4x^2-324 =9raizx^2-81

Passo 3

Igualando as duas expressões de De<a:
54+6x = 9raizx^2-81
Dividindo por 3 e elevando ao quadrado:
18+2x = 3raizx^2-81 Longrightarrow (18+2x)^2=9(x^2-81)
Isso dá
4x^2+72x+324=9x^2-729 Longrightarrow 5x^2-72x-1053=0
Pela fórmula de Bhaskara surge apenas a raiz positiva
x = 72+16210 = 23410=23,4 cm

Passo 4

Com x=23,4 cm, recalculamos a área usando De<a=54+6x:
De<a = 54 + 6cdot23,4 = 54 + 140,4 = 194,4 cm^2

Passo 5

O raio R do circuncírculo vale
R = a,b,c4De<a = 18cdot xcdot x4cdot194,4 = 18cdot(23,4)^2777,6 approx12,675 cm

Resposta

Raio do circuncírculo: Rapprox12,675 cm
Lados congruentes: AB=AC=23,4 cm

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