De um losango sabemos que uma diagonal excede a outra em 4 m e que esta, por sua vez, excede o lado em 2 m . Determine a área desse losango.

Passo 1

O enunciado fala de um losango (ou seja, todos os lados iguais) cujas diagonais diferem entre si em 4 m, e a menor dessas diagonais excede o lado em 2 m. Queremos a área do losango, sabendo que a área é dada por
A = d1,d22,
onde d1 e d2 são as diagonais. Para achar d1 e d2 precisamos usar também a relação entre lado s e as metades das diagonais:
s^2 = l(tfracd12r)^2 + l(tfracd22r)^2

Passo 2

Definimos:
s = lado do losango, d2 = menor diagonal, d1 = maior diagonal
Pelo enunciado:
d1 = d2 + 4, d2 = s + 2

Passo 3

Usamos o triângulo retângulo formado pelas metades das diagonais:
s^2 = l(tfracd12r)^2 + l(tfracd22r)^2
Substituindo d1 = s+6 e d2 = s+2 (pois d1=d2+4 e d2=s+2):
s^2 = (s+6)^24 + (s+2)^24 Longrightarrow 4s^2 = (s+6)^2 + (s+2)^2
Expandindo:
4s^2 = s^2 +12s+36 + s^2 +4s+4 = 2s^2 +16s +40 Longrightarrow 2s^2 -16s -40 =0
Longrightarrow s^2 -8s -20 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação:
s = 8 pm raiz8^2 +4cdot202 = 8 pm raiz1442 = 8 pm 122
A solução positiva é s=10 m. Então
d2 = s+2 = 12 m, d1 = d2+4 = 16 m

Passo 5

Finalmente, a área do losango é
A = d1,d22 = 16 times 122 = 96

Resposta

,96,m^2

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