Determine a área de um triângulo equilátero em função do raio R do círculo circunscrito a esse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo equilátero em função do raio R do círculo circunscrito. Para isso, vamos usar duas fórmulas clássicas: a expressão da área em função do lado a e a relação entre o lado a e o raio R do circuncírculo.

Passo 2

O lado do triângulo equilátero vale a.
A área desse triângulo é
A = raiz34a^2
O raio do círculo circunscrito relaciona-se a a por
R = araiz3

Passo 3

Isolando a em função de R temos
a = Rraiz3

Passo 4

Substituindo esse valor de a na fórmula da área e simplificando
A = raiz34,(Rraiz3)^2 = raiz34cdot 3R^2 = 3raiz34R^2

Resposta

A área em função de R é
A = 3raiz34R^2

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