Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular de 12 m de lado nos casos:
c) triângulo

Passo 1

O enunciado pede o raio da circunferência circunscrita a um polígono regular de lado 12 m no caso de um triângulo. Aqui o polígono é um triângulo equilátero de lado a=12, e vamos usar geometria de polígonos regulares e trigonometria em triângulos isósceles para achar o raio R.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados de comprimento a, ao unir dois vértices consecutivos ao centro, formamos um triângulo isósceles de lados R,R,a com ângulo central 2pi/n. Se dividirmos esse isósceles pela altura, obtemos um triângulo retângulo em que o cateto oposto ao ângulo pi/n vale a/2 e a hipotenusa vale R. Pela definição de seno:
sin!l(tfracpinr)=a/2R

Passo 3

Isolando R na expressão acima, fica
R = a2,sin!l(tfracpinr)

Passo 4

Para n=3 e a=12 temos sin(pi/3)=raiz3/2. Substituindo em R=a2sin(pi/n)
R = 122cdotraiz32 = 12raiz3 = 4raiz3

Resposta

R = 4raiz3,m

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