Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
eneágono regular;

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas medidas diferentes de diagonal existem em um eneágono regular (polígono de n=9 lados).
Conteúdo: geometria de polígonos regulares, mais precisamente a fórmula do comprimento de uma corda num círculo de raio R.

Passo 2

Em um polígono regular de raio circunscrito R, a distância entre dois vértices que estão k posições afastados é dado pela corda de ângulo central 2pi k/n:
dk = 2R sin!l(tfracpi knr)
Aqui n=9 e k deve ser pelo menos 2 (para não ser lado) e no máximo n-2=7.

Passo 3

Porém, como sin(pi k/n)=sin[pi(n-k)/n], as medidas para k e n-k coincidem. Então basta olhar k=2,3,4 para todas as diagonais distintas.

Passo 4

Para k=2,3,4 obtemos três comprimentos diferentes:
d2 = 2Rsin!l(tfrac2pi9r), d3 = 2Rsin!l(tfrac3pi9r), d4 = 2Rsin!l(tfrac4pi9r)

Resposta

Existem 3 medidas de diagonal duas a duas diferentes.

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