O ângulo A D C de um polígono regular A B C D E F… mede 30^circ. Determine a soma dos ângulos internos desse polígono.

Passo 1

O enunciado diz que num polígono regular A B C D E F dots o ângulo widehatA D C mede 30^circ e pede a soma dos ângulos internos desse polígono. Vamos usar duas ideias principais: (i) um polígono regular pode ser inscrito numa circunferência, então os vértices estão na circunferência; (ii) a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)times180^circ.

Passo 2

Inscrevendo o polígono numa circunferência, o ângulo widehatA D C é um ângulo inscrito que subtende o arco AC. Se o polígono tem n lados, o ângulo central correspondente a cada lado mede tfrac360^circn.

Passo 3

Para o arco AC, vemos que entre A e C há exatamente dois lados ( A B e B C), logo a medida do arco é
m(AC) =2times360^circn =720^circn
Como o ângulo inscrito vale metade do arco que subtende, temos
widehatA D C =12m(AC) =12cdot720^circn =360^circn

Passo 4

O enunciado informa que widehatA D C=30^circ. Logo,
360^circn=30^circ Longrightarrow n=36030=12

Passo 5

Com n=12, a soma dos ângulos internos é
(n-2)times180^circ =(12-2)times180^circ =10times180^circ =1800^circ

Resposta

A soma dos ângulos internos do polígono é 1800^circ.

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