Determine as raízes racionais dos polinômios:
P(x)=10 x^6-27 x^5-120 x^4+120 x^2+27 x-10

Passo 1

O enunciado pede as raízes racionais de
P(x)=10x^6-27x^5-120x^4+120x^2+27x-10
O plano é usar o teste das raízes racionais para encontrar fatores lineares, fazer divisões sintéticas e, quando aparecer um polinômio palindrômico, explorar a simetria recíproca via a substituição y=x+tfrac1x.

Passo 2

Testamos x=1. Calculamos
P(1)=10 -27 -120 +120 +27 -10 = 0,
logo x-1 é fator de P(x). Fazendo a divisão sintética por x-1 obtemos o quociente
Q5(x)=10x^5-17x^4-137x^3-137x^2-17x+10

Passo 3

Observamos que Q5(x) é palindrômico (os coeficientes lidos de trás para frente são os mesmos). Isso sugere testar x=-1. De fato,
Q5(-1)=-10-17+137-137+17+10=0,
logo x+1 é fator. Dividindo Q5(x) por x+1, chegamos ao polinômio quártico
R(x)=10x^4-27x^3-110x^2-27x+10

Passo 4

Como R(x) é palindrômico de grau 4, dividimos por x^2 e usamos
y = x + 1x
Temos
R(x)x^2 =10l(x^2+x^-2r)-27l(x+x^-1r)-110 =10(y^2-2)-27y-110 =10y^2-27y-130
Assim resolvemos a equação em y:
10y^2-27y-130=0 Longrightarrow y=27pmraiz27^2+4cdot10cdot1302cdot10 =27pm7720,
isto é y=tfrac265 ou y=-tfrac52.

Passo 5

Para cada y resolvemos
x+1x=y Long<=ftrightarrow x^2-yx+1=0
  1. Se y=tfrac265, o discriminante é
    l(tfrac265r)^2-4= tfrac676-10025=tfrac57625,
    raiztfrac57625=tfrac245, logo
x=tfrac265pmtfrac2452 =26pm2410 Longrightarrow x=5 ou x=tfrac15
  1. Se y=-tfrac52, o discriminante é
    l(-tfrac52r)^2-4=tfrac25-164=tfrac94,
    raiztfrac94=tfrac32, logo
x=-tfrac52pmtfrac322 =-5pm34 Longrightarrow x=-2 ou x=-tfrac12

Resposta

As raízes racionais de P(x) são
x=1, x=-1, x=5, x=tfrac15, x=-2, x=-tfrac12

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