Determine a razão entre a área de um quadrado e a área de um triângulo equilátero inscritos num círculo de raio
.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a área de um quadrado e a área de um triângulo equilátero, ambos inscritos num mesmo círculo de raio
. O conteúdo envolvido é geometria de circunferência inscrita em polígonos regulares.
Passo 2
Para o quadrado inscrito, a diagonal coincide com o diâmetro do círculo. Logo, se
é o lado do quadrado, temos
Passo 3
A área do quadrado é
Passo 4
Para o triângulo equilátero inscrito, a relação entre o raio
do circuncírculo e o lado
é
Como
, segue
Passo 5
A área do triângulo equilátero é
Agora a razão desejada é