Determine a razão entre a área de um quadrado e a área de um triângulo equilátero inscritos num círculo de raio r.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área de um quadrado e a área de um triângulo equilátero, ambos inscritos num mesmo círculo de raio r. O conteúdo envolvido é geometria de circunferência inscrita em polígonos regulares.

Passo 2

Para o quadrado inscrito, a diagonal coincide com o diâmetro do círculo. Logo, se s é o lado do quadrado, temos
diagonal = sraiz2 = 2r
implies s = 2rraiz2 = rraiz2

Passo 3

A área do quadrado é
Aquad = s^2 = l(rraiz2r)^2 = 2r^2

Passo 4

Para o triângulo equilátero inscrito, a relação entre o raio R do circuncírculo e o lado a é
R = araiz3
Como R = r, segue
a = rraiz3

Passo 5

A área do triângulo equilátero é
Atriang<= = a^2raiz34 = l(rraiz3r)^2raiz34 = 3r^2raiz34
Agora a razão desejada é
AquadAtriang<= = 2r^2tfrac3r^2raiz34 = 2r^2 cdot 43r^2raiz3 = 83raiz3 = 8raiz39

Resposta

AquadAtriang<= = 83raiz3 (ou) 8raiz39

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