O apótema de um triângulo equilátero é igual ao lado de um quadrado de 16 cm^2 de área. Determine a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que o apótema de um triângulo equilátero é igual ao lado de um quadrado cuja área é 16 cm^2. Precisamos usar:
  1. Cálculo do lado do quadrado a partir de sua área.
  2. Fórmula do apótema (inradius) de um triângulo equilátero.
  3. Fórmula da área de um triângulo equilátero em função do seu lado.

Passo 2

A área do quadrado é 16 cm^2, logo seu lado s satisfaz
s^2 = 16
s = raiz16 = 4 cm

Passo 3

O apótema de um triângulo equilátero (que é o raio da circunferência inscrita) de lado a vale
r = araiz36
Pelo enunciado, esse apótema r é igual a 4 cm.

Passo 4

Igualando e resolvendo para a:
araiz36 = 4 Longrightarrow a = 6cdot4raiz3 = 24raiz3 = 8raiz3 cm

Passo 5

A área do triângulo equilátero de lado a é
A = a^2raiz34
Substituindo a=8raiz3:
A = l(8raiz3r)^2raiz34 = 64cdot3raiz34 = 48raiz3 cm^2

Resposta

A área do triângulo é 48raiz3 cm^2.

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