O apótema de um triângulo equilátero é igual ao lado de um quadrado de 16 cm^2 de área. Determine a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que o apótema de um triângulo equilátero é igual ao lado de um quadrado cuja área é . Precisamos usar:
  1. Cálculo do lado do quadrado a partir de sua área.
  2. Fórmula do apótema (inradius) de um triângulo equilátero.
  3. Fórmula da área de um triângulo equilátero em função do seu lado.

Passo 2

A área do quadrado é s^2 = 16 , logo seu lado s = raiz16 = 4 cm satisfaz

Passo 3

O apótema de um triângulo equilátero (que é o raio da circunferência inscrita) de lado r = araiz36 vale
Pelo enunciado, esse apótema é igual a .

Passo 4

Igualando e resolvendo para araiz36 = 4 Longrightarrow a = 6cdot4raiz3 = 24raiz3 = 8raiz3 cm :

Passo 5

A área do triângulo equilátero de lado A = a^2raiz34 é
A = l(8raiz3r)^2raiz34 = 64cdot3raiz34 = 48raiz3 cm^2
Substituindo :

Resposta

A área do triângulo é .

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