Os polos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente, 5 cm e 10 cm do plano do círculo. Determine o raio desse círculo.
Passo 1
O enunciado descreve um círculo menor obtido pela interseção de uma esfera de raio com um plano, e chama de “polos” os dois pontos da esfera obtidos ao longo da reta perpendicular ao plano que passa pelo centro do círculo. Sabendo que esses polos distam cm e cm do plano do círculo, vamos usar a relação entre o raio da esfera, a distância do centro da esfera ao plano e o raio do círculo de interseção.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o plano do círculo seja e o centro da esfera esteja em , com . A esfera tem equação
A interseção com é o círculo de raio dado por
pois nesse plano .
Passo 3
Os polos são as interseções da esfera com o eixo : em temos
Suas distâncias ao plano são e l|d-Rr|, que valem 10 cm e 5 cm, em alguma ordem.
Passo 4
Como d>=0 e R>d (senão um dos polos ficaria no mesmo lado do plano, não tendo duas distâncias positivas distintas), temos
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 694