Os polos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente, 5 cm e 10 cm do plano do círculo. Determine o raio desse círculo.

Passo 1

O enunciado descreve um círculo menor obtido pela interseção de uma esfera de raio R com um plano, e chama de “polos” os dois pontos da esfera obtidos ao longo da reta perpendicular ao plano que passa pelo centro do círculo. Sabendo que esses polos distam 5 cm e 10 cm do plano do círculo, vamos usar a relação entre o raio da esfera, a distância do centro da esfera ao plano e o raio do círculo de interseção.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o plano do círculo seja z=0 e o centro da esfera esteja em C=(0,0,d), com d>=0. A esfera tem equação
x^2 + y^2 + (z - d)^2 = R^2
A interseção com z=0 é o círculo de raio r dado por
r^2 + d^2 = R^2,
pois nesse plano x^2+y^2 = R^2 - d^2.

Passo 3

Os polos são as interseções da esfera com o eixo z: em x=y=0 temos
(z - d)^2 = R^2 Longrightarrow z = d pm R
Suas distâncias ao plano z=0 são l|d+Rr| e l|d-Rr|, que valem 10 cm e 5 cm, em alguma ordem.

Passo 4

Como d>=0 e R>d (senão um dos polos ficaria no mesmo lado do plano, não tendo duas distâncias positivas distintas), temos
d + R = 10, R - d = 5
Somando as duas equações,
2R = 15 Longrightarrow R = tfrac152 = 7,5 cm,
e então
d = 10 - R = 2,5 cm

Passo 5

O raio r do círculo segue de
r^2 = R^2 - d^2 = (7,5)^2 - (2,5)^2 = 56,25 - 6,25 = 50,
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r = raiz50 = 5raiz2 cm

Resposta

O raio do círculo menor é 5raiz2 cm.

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