Determine a razão entre as áreas dos segmentos circulares em que fica dividido um círculo no qual se traça uma corda igual ao raio do círculo.

Passo 1

O enunciado nos dá um círculo de raio R e uma corda de comprimento igual a R, que divide o círculo em dois segmentos circulares (um menor e um maior). Para resolver, vamos usar a relação entre o comprimento da corda e o ângulo central e a fórmula da área de um segmento circular.

Passo 2

Chamando de theta o ângulo central (em radianos) correspondente à corda, temos
c = 2Rsinl(tfractheta2r),
e como c=R, segue
R = 2Rsinl(tfractheta2r) Longrightarrow sinl(tfractheta2r)=tfrac12 Longrightarrow tfractheta2=tfracpi6 Longrightarrow theta=tfracpi3

Passo 3

A área do segmento circular menor, associada ao ângulo theta, é dada por
Amenor = R^22l(theta - sinthetar)

Passo 4

Como a área total do círculo é pi R^2, a área do segmento maior é
Amaior = pi R^2 - Amenor

Passo 5

Substituindo theta=tfracpi3 e sin(tfracpi3)=tfracraiz32 nas fórmulas de ambos os segmentos, obtemos
Amenor = R^22l(pi3 - raiz32r)
e
Amaior = R^22l(2pi - pi3 + raiz32r)

Passo 6

A razão entre as áreas do segmento menor e do segmento maior é
AmenorAmaior = pi3 - raiz32 2pi - pi3 + raiz32
Multiplicando numerador e denominador por 6, simplifica-se para
2pi - 3raiz310pi + 3raiz3

Resposta

AmenorAmaior = 2pi - 3raiz310pi + 3raiz3.

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