Um lado de um quadrado é corda de uma circunferência e o lado oposto é tangente a ela. Determine a área do quadrado, sendo 10 m o raio do círculo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado e uma circunferência de raio 10. Um lado do quadrado é corda da circunferência e o lado oposto é tangente a ela. Precisamos achar a área do quadrado.

Passo 2

Colocamos o centro da circunferência em (0,0) e orientamos o quadrado de modo que o lado tangente esteja na reta horizontal
y = 10,
pois a distância do centro até essa reta é igual ao raio. Então o lado corda ficará na reta paralela
y = 10 - s,
onde s é o comprimento do lado do quadrado.

Passo 3

Os extremos da corda são as interseções da reta y = 10 - s com a circunferência
x^2 + y^2 = 100,
logo substituindo y = 10 - s obtemos
x^2 + (10 - s)^2 = 100
O comprimento dessa corda é
2raiz100 - (10 - s)^2

Passo 4

Como essa corda é exatamente um lado do quadrado, impomos
s = 2raiz100 - (10 - s)^2
Elevando ao quadrado e simplificando:
s^24 = 100 - (10 - s)^2 ;Longrightarrow; s^24 = 100 - (s^2 - 20s +100) ;Longrightarrow; s^24 = -,s^2 + 20s
Longrightarrow; s^2 = -4s^2 + 80s ;Longrightarrow; 5s^2 - 80s = 0 ;Longrightarrow; s(5s - 80)=0 ;Longrightarrow; s=16 (descartamos s=0)

Passo 5

Com s = 16, a área do quadrado é
s^2 = 16^2 = 256

Resposta

256 m^2

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