Determine uma reta perpendicular a r: 2 x-3 y=0 que defina com as bissetrizes dos quadrantes um triângulo de área 20 unidades.

Passo 1

O enunciado pede uma reta perpendicular a rcolon 2x-3y=0 (que tem coeficiente angular mr=tfrac23) de modo que, em conjunto com as bissetrizes dos quadrantes ( y=x e y=-x), forme um triângulo de área igual a 20. Vamos usar geometria analítica: achar a forma geral da reta perpendicular, determinar suas interseções com y=x e y=-x e aplicar a fórmula da área de triângulo via determinante de vértices.

Passo 2

Como o coeficiente angular de r é mr=tfrac23, a reta perpendicular terá coeficiente angular
m = -1mr = -32
Logo a família de retas perpendiculares é
y = -32x + b,
onde b é a ordenada na origem que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos os pontos de interseção da reta y = -tfrac32x + b com as bissetrizes:
  1. Com y=x:
    x = -tfrac32x + b Longrightarrow 52x = b Longrightarrow x = 2b5, y = 2b5
    Chamemos esse ponto de A.
  2. Com y=-x:
    -x = -tfrac32x + b Longrightarrow 12x = b Longrightarrow x = 2b,; y = -2b
    Chamemos esse ponto de B.
A terceira vértice do triângulo é a interseção de y=x com y=-x, que é C=(0,0).

Passo 4

A área do triângulo ABC dado pelos pontos A(a,a), B(p,-p) e C(0,0) é
A = 12l|deta & p a & -pr| = 12,|,acdot(-p)-acdot p,| = |a,p|
Aqui a=tfrac2b5 e p=2b, logo
a,p = 2b5cdot 2b = 4b^25
Impondo A=20
gl|4b^25gr| = 20 Longrightarrow 4b^25=20 Longrightarrow b^2=25 Longrightarrow b=pm5

Passo 5

Substituindo b=5 e b=-5 na equação y=-tfrac32x+b, obtemos as duas retas requeridas:
Para b=5: y = -32x + 5 Long<=ftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0
Para b=-5: y = -32x - 5 Long<=ftrightarrow 3x + 2y + 10 = 0

Resposta

As retas são
3x + 2y - 10 = 0 e 3x + 2y + 10 = 0,
ambas perpendiculares a 2x-3y=0 e formando com as bissetrizes dos quadrantes um triângulo de área 20.

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