As regiões do plano definidas por
x1+2 x2 <= 2, x1 >= 0
2 x1+x2 <= 2, x2 >= 0
determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y=x1+x2. Sabendo que o máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero, determine esse valor.

Passo 1

O enunciado define um programa linear em R^2 com as restrições
x1+2x2<=2, 2x1+x2<=2, x1>=0, x2>=0
e pede o máximo de y=x1+x2. Sabendo que o máximo de uma função linear sobre um polígono convexo ocorre num vértice, vamos identificar os vértices do quadrilátero formado pelas restrições e depois avaliar y em cada um.

Passo 2

Listamos os pontos de interseção possíveis:
1. O vértice onde ambas as variáveis são zero:
(0,0)
2. Interseções com o eixo x1=0:
  • Com x1+2x2=2: ,0+2x2=2implies x2=1, ponto (0,1).
  • Com 2x1+x2=2: ,2cdot0+x2=2implies x2=2, ponto (0,2).
    3. Interseções com o eixo x2=0:
  • Com x1+2x2=2: x1+0=2implies x1=2, ponto (2,0).
  • Com 2x1+x2=2: 2x1+0=2implies x1=1, ponto (1,0).

Passo 3

Calculamos a interseção das retas
x1+2x2=2, 2x1+x2=2
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda:
2x1+4x2-l(2x1+x2r)=4-2 ;Longrightarrow;3x2=2 ;Longrightarrow;x2=tfrac23,
e então
x1=2-2x2=2-tfrac43=tfrac23
Logo o ponto de interseção é l(tfrac23,tfrac23r).

Passo 4

Verificamos quais desses pontos satisfazem todas as restrições:
  • (0,0) satisfaz tudo.
  • (0,1) satisfaz 2cdot0+1<=2 e 2cdot0+1<=2.
  • (1,0) satisfaz 1+0<=2 e 2cdot1+0<=2.
  • (0,2) falha em 0+2cdot2<=2.
  • (2,0) falha em 2cdot2+0<=2.
  • l(tfrac23,tfrac23r) satisfaz ambas as igualdades originais.
Portanto os vértices do quadrilátero são
(0,0), (0,1), (1,0), l(tfrac23,tfrac23r)

Passo 5

Avaliamo-s y = x1 + x2 em cada v’ertice:
y(0,0) = 0, y(0,1) = 1, y(1,0) = 1, yl(tfrac23, tfrac23r) = tfrac23 + tfrac23 = tfrac43

Passo 6

O maior valor dentre 0,1,1,tfrac43 é tfrac43, que ocorre no vértice l(tfrac23,tfrac23r).

Resposta

O valor máximo de y é tfrac43, alcançado em l(tfrac23,tfrac23r).

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