Determine as retas de declive m=2 que são tangentes à circunferência x^2+y^2=5 e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede as retas de declive m=2 que sejam tangentes à circunferência de equação
x^2+y^2=5
Para isso vamos usar a forma geral da reta com m=2, escrever o sistema com a circunferência e impor a condição de tangência (interseção única).

Passo 2

A forma geral das retas de declive 2 é
y = 2x + b,
onde b é o coeficiente angular a determinar. Substituímos essa expressão em x^2+y^2=5.

Passo 3

Substituindo y=2x+b na circunferência vem
x^2 + (2x + b)^2 = 5
e, ao expandir e coletar termos,
x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 - 5 = 0 Longrightarrow 5x^2 + 4b,x + (b^2-5) = 0

Passo 4

Para que a reta seja tangente à circunferência, o polinômio em x deve ter uma única raiz real, ou seja, discriminante zero:
De<a = (4b)^2 - 4cdot5cdot(b^2-5) = 0 ;Longrightarrow; 16b^2 - 20b^2 +100 = 0 ;Longrightarrow; -4b^2 +100=0 ;Longrightarrow; b^2=25

Passo 5

Daí b=pm5. Assim as duas retas procuradas são
y = 2x + 5 e y = 2x - 5

Passo 6

Para confirmar os pontos de tangência, note que quando De<a=0 a raiz dupla é
x0 = -4b2cdot5 = -4b10 = -2b5
  • Se b=5, então x0=-2 e y0=2(-2)+5=1, ponto (-2,1).
  • Se b=-5, então x0=2 e y0=2cdot2-5=-1, ponto (2,-1).
    Ambos satisfazem x^2+y^2=5.

Passo 7

Gráfico (descrição):
– A circunferência tem centro em (0,0) e raio raiz5approx2,24.
– A reta y=2x+5 intercepta o eixo y em (0,5) e toca a circunferência em (-2,1).
– A reta y=2x-5 intercepta o eixo y em (0,-5) e toca em (2,-1).

Resposta

As retas são
y = 2x + 5 e y = 2x - 5

Exercícios de Livros Relacionados