Verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo, determine seus raio e centro.
(4 x^{2}+4 y^{2}+x-6 y+5=0).

Passo 1

Temos a equação
4x^2+4y^2+x-6y+5=0
que é um caso de cônica com coeficientes de x^2 e y^2 iguais e sem termo xy. Isso sugere tratar-se de uma circunferência (ou de um conjunto vazio, se sair raio imaginário). Para verificar e encontrar centro e raio, vamos dividir por 4 e completar o quadrado.

Passo 2

Dividindo toda a equação por 4, obtemos
x^2+y^2+tfrac14x-tfrac64y+tfrac54=0
ou seja
x^2+tfrac14x ;+; y^2-tfrac32y ;=;-,tfrac54

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x e em y.
Para x: coeficiente linear tfrac14, metade é tfrac18, quadrado é tfrac164.
Para y: coeficiente linear -tfrac32, metade é -tfrac34, quadrado é tfrac916.
Somamos esses termos nos dois lados:
x^2+tfrac14x+tfrac164 ;=;l(x+tfrac18r)^2,
y^2-tfrac32y+tfrac916 ;=;l(y-tfrac34r)^2
No lado direito somamos tfrac164+tfrac916, que dá tfrac3764. Logo
l(x+tfrac18r)^2+l(y-tfrac34r)^2 ;=;-,tfrac54+tfrac3764 ;=;-,tfrac8064+tfrac3764 ;=;-,tfrac4364

Passo 4

O resultado é
l(x+tfrac18r)^2+l(y-tfrac34r)^2 =,-,tfrac4364
Escrevendo em forma padrão l(x-x0r)^2+(y-y0)^2=r^2, identificamos
centro l(x0,y0r)=l(-tfrac18,tfrac34r) e
r^2=-tfrac4364<0.

Resposta

Não existe circunferência real associada a essa equação, pois o raio ao quadrado ficou negativo. Em termos formais, o “centro” seria l(-tfrac18,tfrac34r) e r = raiz-tfrac4364 (imaginário), logo não há circunferência no plano real.

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