Verifique se a equação dada representa uma circunferência. Em caso afirmativo, determine seus raio e centro.
(9 x^{2}+9 y^{2}+6 x-36 y+64=0).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
9x^2+9y^2+6x-36y+64=0
e pede para verificar se isso é uma circunferência. O conteúdo aqui é a forma geral da circunferência no plano, que obedece
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,
e para identificar o centro e o raio usamos o método de completar quadrados.

Passo 2

Primeiro simplificamos dividindo toda a equação por 9, para ficar coeficiente 1 nos termos quadráticos:
x^2+y^2+69x-369y+649=0
ou seja
x^2+y^2+tfrac23x-4y+tfrac649=0

Passo 3

Agora completamos quadrados em x e em y:
Para x:
x^2+tfrac23x = l(x+tfrac13r)^2 - tfrac19
Para y:
y^2-4y = (y-2)^2 - 4

Passo 4

Substituindo na equação simplificada:
l(x+tfrac13r)^2 - tfrac19 ;+;(y-2)^2 - 4 ;+;tfrac649 ;=;0
Como -4 = -tfrac369, os termos constantes somam
-tfrac19 - tfrac369 + tfrac649 ;=;tfrac279 ;=;3
Logo
l(x+tfrac13r)^2 + (y-2)^2 + 3 = 0 Longrightarrow l(x+tfrac13r)^2 + (y-2)^2 = -3
Aqui o “raio ao quadrado” seria -3, que é negativo.

Resposta

A equação não representa uma circunferência real, pois o raio ao quadrado ficou -3<0.

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