São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em 3 quaisquer dos 12 pontos?

Solução

Cada combinação de 3 pontos, entre os 12 existentes, dá origem a um triângulo, com exceção das combinações de 3 pontos, tomados entre os 5 alinhados; logo, o número de triângulos que podem ser formados é:
binom123-binom53=210

Passo 1

O enunciado diz que temos 12 pontos num plano, dos quais exatamente 5 estão alinhados (colineares). Queremos contar quantos triângulos distintos se formam ao escolher 3 pontos quaisquer. A estratégia é usar combinações para contar todas as maneiras de escolher 3 pontos e depois subtrair aquelas escolhas que não formam triângulo (ou seja, os 3 pontos colineares).

Passo 2

Primeiro, calculamos o número total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 12, sem nos preocupar com colinearidade. Usamos a combinação de n elementos tomados k a k:
binom123 ;=;12!3!,9!;=;12times11times103times2times1;=;220

Passo 3

Em seguida, determinamos quantas escolhas de 3 pontos são todas entre os 5 colineares. Qualquer tripla desses 5 pontos não forma um triângulo, pois ficam na mesma reta. O número de tais escolhas é
binom53 ;=;5!3!,2!;=;5times42times1;=;10

Passo 4

Para obter apenas os triângulos válidos, subtraímos do total as escolhas colineares:
220 ;-;10 ;=;210

Resposta

O número de triângulos distintos que podem ser formados é 210.

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