São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em 3 quaisquer dos 12 pontos?
Solução
Cada combinação de 3 pontos, entre os 12 existentes, dá origem a um triângulo, com exceção das combinações de 3 pontos, tomados entre os 5 alinhados; logo, o número de triângulos que podem ser formados é:
Passo 1
O enunciado diz que temos 12 pontos num plano, dos quais exatamente 5 estão alinhados (colineares). Queremos contar quantos triângulos distintos se formam ao escolher 3 pontos quaisquer. A estratégia é usar combinações para contar todas as maneiras de escolher 3 pontos e depois subtrair aquelas escolhas que não formam triângulo (ou seja, os 3 pontos colineares).
Passo 2
Primeiro, calculamos o número total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 12, sem nos preocupar com colinearidade. Usamos a combinação de
elementos tomados
a
:
Passo 3
Em seguida, determinamos quantas escolhas de 3 pontos são todas entre os 5 colineares. Qualquer tripla desses 5 pontos não forma um triângulo, pois ficam na mesma reta. O número de tais escolhas é
Passo 4
Para obter apenas os triângulos válidos, subtraímos do total as escolhas colineares:
Resposta
O número de triângulos distintos que podem ser formados é
.