Determine n, sabendo que An+1,4=20 cdot Cn, 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n tal que o número de arranjos de (n+1) elementos tomados 4 a 4, An+1,4, seja igual a 20 vezes o número de combinações de n elementos tomados 2 a 2, Cn,2. O conteúdo envolve fórmulas de arranjos e combinações:
An+1,4 = (n+1)!(n+1-4)! e Cn,2 = n!2!(n-2)!

Passo 2

Escrevendo as fórmulas em termos de produtos:
An+1,4 = (n+1),n,(n-1),(n-2),
Cn,2 = n,(n-1)2
A condição dada é
(n+1),n,(n-1),(n-2) ;=; 20 cdot n,(n-1)2

Passo 3

Simplificamos ambos os lados dividindo por n,(n-1), assumindo n>=2:
(n+1)(n-2) = 20 cdot 12 = 10

Passo 4

Expandindo e organizando em forma de equação quadrática:
(n+1)(n-2) = n^2 - n - 2 = 10 Longrightarrow n^2 - n - 12 = 0
As raízes são dadas por
n = 4 ou n = -3

Passo 5

Como n deve ser inteiro não negativo e satisfazer n>=3 (para An+1,4 estar bem definido), descartamos n=-3 e ficamos com
n = 4

Resposta

4

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