Determine
f(10) sabendo que f(t)=6 /\left(1+A e^{-k x}\right), f(0)=3 e f(5)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função logística
f(t)=\frac{6}{1+A e^{-k t}}
com as condições iniciais f(0)=3 e f(5)=2. O objetivo é achar f(10). Para isso, primeiro determinamos A usando f(0) e em seguida k usando f(5).

Passo 2

Usando f(0)=3, temos
f(0)=\frac{6}{1+A e^{-k\cdot0}}=\frac{6}{1+A}=3.
Logo
1+A=\frac{6}{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad A=1.

Passo 3

Agora aplicamos f(5)=2:
f(5)=\frac{6}{1+1\cdot e^{-5k}}=2 \quad\Longrightarrow\quad 1+e^{-5k}=3 \quad\Longrightarrow\quad e^{-5k}=2.
Tomando logaritmo natural,
-5k=\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{\ln 2}{5}.

Passo 4

Finalmente calculamos
f(10)=\frac{6}{1+1\cdot e^{-10k}}
e como k=-\tfrac{\ln2}{5} obtemos
e^{-10k}=e^{-10(-\frac{\ln2}{5})}=e^{2\ln2}=4.
Portanto
f(10)=\frac{6}{1+4}=\frac{6}{5}=1,2.

Resposta

f(10)=\dfrac{6}{5}=1{,}2.

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