Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n <= 10, calcule o valor de ( 2 n-1 ).

Passo 1

O enunciado diz que, no desenvolvimento de (1+x)^n, os coeficientes do 5º, 6º e 7º termos estão em progressão aritmética. Como o k-ésimo termo de (1+x)^n tem coeficiente binomnk-1, estamos falando de
binomn4, binomn5 e binomn6
em PA. Precisamos usar propriedades de coeficientes binomiais e da definição de progressão aritmética para achar n<=10 e depois calcular 2n-1.

Passo 2

A condição de progressão aritmética entre três termos a,b,c é
2b = a + c
Aqui a=binomn4,,b=binomn5,,c=binomn6. Logo
2binomn5 ;=;binomn4 + binomn6
Substituindo as fórmulas
binomn4=n(n-1)(n-2)(n-3)24, binomn5=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)120, binomn6=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)720,
e multiplicando ambos os lados por 720, obtemos
12,n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) ;=; 30,n(n-1)(n-2)(n-3) ;+; n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

Passo 3

Como n(n-1)(n-2)(n-3)neq0 para n>=4, dividimos por esse fator e obtemos a equação em n:
12(n-4) ;=; 30 + (n-4)(n-5)
Expandindo e rearranjando:
12n - 48 = n^2 - 9n + 50 Longrightarrow n^2 -21n + 98 = 0
O discriminante é De<a = (-21)^2 - 4cdot1cdot98 =49, logo as raízes são
n = 21pm72 = 7 ;ou; 14
Como exigimos n<=10, fica n=7.

Passo 4

Com n=7 calculamos
2n - 1 = 2cdot7 - 1 = 13

Resposta

13

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