Determine sen(x2), cos (x2) e tan (x2), em cada caso abaixo, sabendo que 0 <= x <= pi2.
tan (x)=2 raiz103

Passo 1

Resumindo: sabemos que tan x=2raiz103 com 0<= x<=pi2. Queremos senx2, cosx2 e tanx2. Vamos usar primeiro um triângulo retângulo para achar sen x e cos x, e depois aplicar as fórmulas de meio ângulo.

Passo 2

Como
tan x=sen xcos x=2raiz103,
imaginamos um triângulo retângulo cujo cateto oposto vale 2raiz10 e cujo cateto adjacente vale 3. A hipotenusa é
raiz(2raiz10)^2 + 3^2 =raiz40 + 9 =raiz49 =7
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sen x = 2raiz107, cos x = 37

Passo 3

Para 0<= x<=pi2 temos 0<= x2<=pi4, então senx2 e cosx2 são não negativas. As fórmulas de meio ângulo dão:
senx2 = raiz1-cos x2, cosx2 = raiz1+cos x2
Substituindo cos x=37:
senx2 = raiz1-372 = raiz472 = raiz27,
cosx2 = raiz1+372 = raiz1072 = raiz57

Passo 4

Para tanx2 usamos
tanx2 = sen x1+cos x = 2raiz1071+37 = 2raiz107cdot710 = 2raiz1010 = raiz105

Resposta

senx2 = raiz27, cosx2 = raiz57, tanx2 = raiz105

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