Determine sen(2 x), cos (2 x) e tan (2 x) em cada caso a seguir, sabendo que 0 <= x <= pi2.
cos (x)=13

Passo 1

O enunciado pede para determinar sen(2x), cos(2x) e tan(2x) sabendo que cos(x)=tfrac13 e que 0<= x<=dfracpi2.
O conteúdo que vamos usar são as fórmulas de ângulo duplo:
sen(2x)=2sen(x)cos(x),
cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x),
tan(2x)=sen(2x)cos(2x)

Passo 2

Precisamos de sen(x). Como sen^2(x)+cos^2(x)=1, temos
sen(x) =raiz1-cos^2(x) =raiz1-l(tfrac13r)^2 =raiztfrac89 =2raiz23
Aqui escolhemos o sinal positivo porque x está em l[0,tfracpi2r], onde o seno é não-negativo.

Passo 3

Agora aplicamos sen(2x)=2sen(x)cos(x):
sen(2x) =2cdot2raiz23cdot13 =4raiz29

Passo 4

Em seguida, cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x):
cos(2x) =l(tfrac13r)^2-l(tfrac2raiz23r)^2 =19-89 =-79

Passo 5

Por fim, tan(2x)=dfracsen(2x)cos(2x):
tan(2x) =tfrac4raiz29-tfrac79 =-4raiz27

Resposta

sen(2x)=dfrac4raiz29,
cos(2x)=-dfrac79,
tan(2x)=-dfrac4raiz27.

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