Sem usar calculadora, mas apenas as fórmulas de arco metade, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos abaixo.
105^circ

Passo 1

O enunciado pede sin(105^circ), cos(105^circ) e tan(105^circ) sem usar calculadora, apenas usando as fórmulas de arco-metade. Vamos usar
sinl(theta2r)=pmraiz1-costheta2, cosl(theta2r)=pmraiz1+costheta2, tanl(theta2r)=sin(theta/2)cos(theta/2),
escolhendo o sinal conforme o quadrante. Como 105^circ está no 2º quadrante, teremos sin>0, cos<0 e tan<0. Note que 105^circ=tfrac210^circ2, então tomamos theta=210^circ.

Passo 2

Primeiro, calculamos
cos(210^circ)=cos(180^circ+30^circ)=-cos(30^circ)=-raiz32
Aplicando a fórmula de seno de arco-metade com theta=210^circ e sinal positivo:
sin(105^circ) =raiz1-cos(210^circ)2 =raiz1-(-raiz32)2 =raiz1+raiz322 =raiz2+raiz32

Passo 3

Agora o cosseno de arco-metade, com sinal negativo em razão do 2º quadrante:
cos(105^circ) =-raiz1+cos(210^circ)2 =-raiz1+(-raiz32)2 =-raiz1-raiz322 =-raiz2-raiz32

Passo 4

Finalmente, a tangente é a razão tan x=sin xcos x:
tan(105^circ) =raiz2+raiz32-raiz2-raiz32 =-raiz2+raiz3raiz2-raiz3 =-raiz2+raiz32-raiz3
Racionalizando:
-raiz(2+raiz3)^2(2-raiz3)(2+raiz3) =-raiz(2+raiz3)^24-3 =-(2+raiz3)

Resposta

sin(105^circ)=raiz2+raiz32
cos(105^circ)=-raiz2-raiz32
tan(105^circ)=-(2+raiz3)

Exercícios de Livros Relacionados