Determine sen(x+y), cos (x+y) e tan (x+y), sabendo que sen(x)=45, cos (y)=raiz55, 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular sin(x+y), cos(x+y) e tan(x+y) usando as fórmulas de soma de ângulos, sabendo que sin(x)=tfrac45, cos(y)=tfracraiz55 e que x e y estão no primeiro quadrante ( 0<= x,y<=pi/2). Vamos precisar das identidades
sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y,
cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y,
tan(x+y)=tan x+tan y1-tan x,tan y

Passo 2

Como ambos os ângulos estão no primeiro quadrante, cos(x) e sin(y) são positivos e podemos usar a identidade cos=raiz1-sin^2 e sin=raiz1-cos^2. Logo,
cos(x)=raiz1-sin^2(x) =raiz1-l(tfrac45r)^2 =raiz1-tfrac1625 =raiztfrac925 =tfrac35,
sin(y)=raiz1-cos^2(y) =raiz1-l(tfracraiz55r)^2 =raiz1-tfrac525 =raiztfrac2025 =raiztfrac45 =2raiz5 =2raiz55

Passo 3

Aplicando a fórmula de seno da soma:
sin(x+y) =sin xcos y+cos xsin y =45cdotraiz55 +35cdot2raiz55 =4raiz5+6raiz525 =10raiz525 =2raiz55

Passo 4

Aplicando a fórmula de cosseno da soma:
cos(x+y) =cos xcos y-sin xsin y =35cdotraiz55 -45cdot2raiz55 =3raiz5-8raiz525 =-5raiz525 =-raiz55

Passo 5

Para a tangente da soma podemos usar tan(x+y)=sin(x+y)cos(x+y) ou a fórmula direta. Pelo quociente:
tan(x+y) =2raiz55-raiz55 =-2

Resposta

sin(x+y)=2raiz55, cos(x+y)=-raiz55, tan(x+y)=-2

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