Determine sen(x-y), cos (x-y) e tan (x-y), sabendo que sen(x)=1213, sen(y)=1517, 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2.

Passo 1

O enunciado dá sen(x)=tfrac1213 e sen(y)=tfrac1517 com x,y no 1.º quadrante e pede sen(x-y), cos(x-y) e tan(x-y). Vamos usar o Teorema de Pitágoras para achar cos(x) e cos(y) e em seguida as identidades de diferença de ângulos.

Passo 2

Como x e y estão no 1.º quadrante, cos é positivo. Pelo Teorema de Pitágoras:
cos(x)=raiz1-sen^2(x)=raiz1-l(tfrac1213r)^2=tfrac513
cos(y)=raiz1-sen^2(y)=raiz1-l(tfrac1517r)^2=tfrac817

Passo 3

Usamos a identidade
sen(x-y)=sen(x)cos(y)-cos(x)sen(y)
Substituindo os valores:
sen(x-y) =1213cdot817;-;513cdot1517 =96-75221 =21221

Passo 4

Para o cosseno, a identidade é
cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)
Substituindo:
cos(x-y) =513cdot817;+;1213cdot1517 =40+180221 =220221

Passo 5

Por fim, tan(x-y) pode ser obtido como razão:
tan(x-y)=sen(x-y)cos(x-y) =tfrac21221tfrac220221 =21220

Resposta

sen(x-y)=dfrac21221, cos(x-y)=dfrac220221, tan(x-y)=dfrac21220

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