Determine seno e cosseno dos arcos de medida:
\frac{23 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
\sin\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr).
O conteúdo aqui é usar a periodicidade das funções trigonométricas e identificar o ângulo referência.

Passo 2

Reduzimos \tfrac{23\pi}{3} a um ângulo coterminal no intervalo [0,2\pi).
Como
\tfrac{23\pi}{3} - 6\pi = \tfrac{23\pi}{3} - \tfrac{18\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3},
temos
\tfrac{23\pi}{3}\equiv \tfrac{5\pi}{3}\pmod{2\pi}.

Passo 3

O ângulo \tfrac{5\pi}{3} é igual a
2\pi - \tfrac{\pi}{3},
logo está no quarto quadrante, onde \cos é positivo e \sin é negativo.

Passo 4

O ângulo referência é
\alpha = 2\pi - \tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Usando os valores de seno e cosseno de \tfrac{\pi}{3}, obtemos
\sin\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr) =\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) =-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\cos\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \sin\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\bigl(\tfrac{23\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}.

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