A soma de dois números reais é 6 . Encontre estes dois números sabendo que seu produto é máximo.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números reais cuja soma é 6 e precisamos escolher esses números de modo que o produto seja máximo. Isso é um problema de otimização simples que podemos resolver modelando o produto como uma função quadrática de uma variável.

Passo 2

Sejam os dois números x e y tais que
x + y = 6.
Isolando y, temos
y = 6 - x.
Logo, o produto P em função de x fica
P(x) = x \cdot y = x(6 - x) = -x^2 + 6x.

Passo 3

Para encontrar o valor de x que maximiza essa parábola, podemos usar a derivada ou a fórmula do vértice. Pela derivada:
P'(x) = 6 - 2x,
e impondo P'(x)=0, vem
6 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Passo 4

Substituindo x = 3 em y = 6 - x, obtemos
y = 6 - 3 = 3.
Nesse ponto, o produto é
P(3) = 3 \times 3 = 9,
que é o valor máximo.

Resposta

Os dois números são 3 e 3.

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