Dê o domínio e faça o gráfico das funções racionais:
h(x)=1+\frac{1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função racional
h(x)=1+\frac{1}{x-3}.
Este é um problema de funções racionais: vamos determinar onde a função está definida (domínio), achar as assíntotas (verticais e horizontais), calcular interceptos e alguns pontos-chave, e então usar tudo isso para desenhar o esboço da hipérbole resultante.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos as restrições no denominador. A fração \frac{1}{x-3} exige x-3 \neq 0, ou seja
x \neq 3.
Logo, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq3\}
ou, em forma de intervalo,
(-\infty,3)\cup(3,+\infty).

Passo 3

A assíntota vertical ocorre onde o denominador anula-se, logo
x=3.
Para a assíntota horizontal, observamos x\to\pm\infty: o termo \tfrac{1}{x-3}\to0, então
\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=1,
e a assíntota horizontal é
y=1.

Passo 4

Calculamos os interceptos com os eixos:
  1. Intercepto em y: em x=0,
h(0)=1+\frac{1}{0-3}=1-\frac13=\frac{2}{3}.
  1. Intercepto em x: resolvendo h(x)=0,
1+\frac{1}{x-3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x-3}=-1 \quad\Longrightarrow\quad x-3=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=2.

Passo 5

Para orientar o esboço, calculamos mais alguns pontos:
\begin{aligned} x=1:&\quad h(1)=1+\frac{1}{1-3}=1-\tfrac12=0,5,\\\ x=2.5:&\quad h(2{,}5)=1+\frac{1}{-0{,}5}=1-2=-1,\\\ x=4:&\quad h(4)=1+\frac{1}{1}=2,\\\ x=5:&\quad h(5)=1+\frac{1}{2}=1{,}5. \end{aligned}
Com esses pontos, mais as assíntotas x=3 e y=1, podemos traçar os dois ramos da hipérbole: para x<3 o gráfico fica abaixo de y=1 e para x>3 fica acima de y=1, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Domínio: (-\infty,3)\cup(3,+\infty).
Gráfico: hipérbole com assíntotas x=3 (vertical) e y=1 (horizontal), interceptos em (0,\tfrac23) e (2,0), e passando pelos pontos (1,0{,}5), (2{,}5,-1), (4,2), (5,1{,}5).

Exercícios de Livros Relacionados