Determine uma P.A. em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50 iniciais é 3650.

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) cujo a soma dos primeiros 10 termos é 130 e a soma dos primeiros 50 termos é 3650. Nosso objetivo é encontrar o primeiro termo a1 e a razão d.

Passo 2

Recordando que a soma dos primeiros n termos de uma P.A. é dada por
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr),
onde a1 é o primeiro termo e d a razão.

Passo 3

Para n=10 temos
S10 = 102l(2a1 + 9dr) = 5l(2a1 + 9dr) = 130
Logo,
2a1 + 9d = 26

Passo 4

Para n=50 temos
S50 = 502l(2a1 + 49dr) = 25l(2a1 + 49dr) = 3650
Logo,
2a1 + 49d = 146

Passo 5

Subtraindo a equação de S10 da de S50 obtemos
(2a1 + 49d) - (2a1 + 9d) = 146 - 26
40d = 120 Longrightarrow d = 3

Passo 6

Substituindo d=3 em 2a1 + 9d = 26, vem
2a1 + 9cdot3 = 26 Longrightarrow 2a1 + 27 = 26 Longrightarrow 2a1 = -1 Longrightarrow a1 = -tfrac12

Resposta

A P.A. tem primeiro termo a1 = -tfrac12 e razão d = 3.
O termo geral é
an = -tfrac12 + (n-1),3

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