Se numa P.A. a soma dos m primeiros termos é igual à soma dos n primeiros termos, m neq n, mostre que a soma dos m+n primeiros termos é igual a zero.

Passo 1

O enunciado diz que numa progressão aritmética (P.A.) a soma dos m primeiros termos é igual à soma dos n primeiros termos, com mneq n, e pede para mostrar que a soma dos m+n primeiros termos é zero.
O conteúdo usado será a fórmula da soma dos primeiros k termos de uma P.A. e manipulação algébrica dessas expressões.

Passo 2

Seja a1 o primeiro termo da P.A. e d a sua razão. A soma dos primeiros k termos vale
Sk=k2l(2a1+(k-1)dr)

Passo 3

Pelo enunciado temos Sm=Sn. Substituindo a fórmula da soma para k=m e para k=n:
m2l(2a1+(m-1)dr) = n2l(2a1+(n-1)dr)
Multiplicando ambos os lados por 2 e rearranjando,
ml(2a1+(m-1)dr)-nl(2a1+(n-1)dr)=0

Passo 4

Vamos expandir e fatorar por (m-n):
m(2a1+m,d-d)-n(2a1+n,d-d) =2a1(m-n)+(m^2-m-n^2+n)d =(m-n)l[2a1+(m+n-1)dr]=0
Como mneq n, segue que
2a1+(m+n-1)d=0

Passo 5

Agora calculamos Sm+n usando a mesma fórmula:
Sm+n =m+n2l(2a1+((m+n)-1)dr) =m+n2underbracel(2a1+(m+n-1)dr)=0 =0

Resposta

A soma dos m+n primeiros termos é igual a zero.

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