Se numa P.A. a soma dos primeiros termos é igual à soma dos primeiros termos, , mostre que a soma dos primeiros termos é igual a zero.
Passo 1
O enunciado diz que numa progressão aritmética (P.A.) a soma dos primeiros termos é igual à soma dos primeiros termos, com , e pede para mostrar que a soma dos primeiros termos é zero.
O conteúdo usado será a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.A. e manipulação algébrica dessas expressões.
Passo 2
Seja o primeiro termo da P.A. e a sua razão. A soma dos primeiros termos vale
Passo 3
Pelo enunciado temos . Substituindo a fórmula da soma para e para :
Multiplicando ambos os lados por e rearranjando,
Passo 4
Vamos expandir e fatorar por :
Como , segue que
Passo 5
Agora calculamos usando a mesma fórmula:
Resposta
A soma dos m+n primeiros termos é igual a zero.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 86