Se A=-1 ; 0 ; 1 e B=-2 ;-1, determine:
a) A times B
b) B times A
c) (A times B) cap(B times A)
d) A^2
e) De<a A

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A = -1,,0,,1
e
B = -2,,-1
e pede:
  • (a) o produto cartesiano Atimes B,
  • (b) o produto cartesiano Btimes A,
  • (c) a interseção (Atimes B)cap(Btimes A),
  • (d) a potência A^2,
  • (e) a diagonal De<a A.
    Para resolver vamos usar as definições de produto cartesiano, interseção, potência de conjunto e diagonal.

Passo 2

O produto cartesiano Atimes B é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) com xin A e yin B. Logo,
Atimes B =(-1,-2),,(-1,-1),,(0,-2),,(0,-1),,(1,-2),,(1,-1)

Passo 3

De modo análogo, Btimes A é o conjunto de todos os pares (y,x) com yin B e xin A. Assim,
Btimes A =(-2,-1),,(-2,0),,(-2,1),,(-1,-1),,(-1,0),,(-1,1)

Passo 4

A interseção (Atimes B)cap(Btimes A) contém os pares que aparecem em ambos os conjuntos. O único par que pertence simultaneamente a Atimes B e a Btimes A é aquele cuja primeira e segunda coordenadas coincidem e estão em Acap B. Como
Acap B = -1,
o único par comum é (-1,-1). Portanto,
(Atimes B)cap(Btimes A) =(-1,-1)

Passo 5

A potência A^2 é definida como Atimes A. Listando todos os pares (x,y) com x,yin A, temos
A^2 =(-1,-1),,(-1,0),,(-1,1),,(0,-1),,(0,0),,(0,1),,(1,-1),,(1,0),,(1,1)

Passo 6

A diagonal De<a A é o subconjunto de A^2 formado pelos pares (x,x) com xin A. Logo,
De<a A =(-1,-1),,(0,0),,(1,1)

Resposta

(a) Atimes B = (-1,-2),,(-1,-1),,(0,-2),,(0,-1),,(1,-2),,(1,-1)
(b) Btimes A = (-2,-1),,(-2,0),,(-2,1),,(-1,-1),,(-1,0),,(-1,1)
(c) (Atimes B)cap(Btimes A) = (-1,-1)
(d) A^2 = Atimes A = (-1,-1),,(-1,0),,(-1,1),,(0,-1),,(0,0),,(0,1),,(1,-1),,(1,0),,(1,1)
(e) De<a A = (-1,-1),,(0,0),,(1,1)

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