Seja M uma relação de U em U. A relação M^prime de U em U, definida por:
M^prime=CU times U^M
denomina-se relação complementar de M.
Sejam U=1 ; 2,3 e a relação de U em U :
M=(x ; y) in U^2 mid x=y
Determine M^prime.
Solução:
U times U=(1,1),(1 ; 2),(1 ; 3),(2 ; 1),(2 ; 2),(2 ; 3),(3 ; 1),(3 ; 2),(3 ; 3)
M=(1 ; 1),(2 ; 2),(3,3)
Observe que os pares ordenados que pertencem a M^prime são aqueles de U times U que não pertencem a M, então:
M^prime=(1 ; 2),(1 ; 3),(2 ; 1),(2 ; 3),(3 ; 1),(3 ; 2)

Passo 1

O enunciado define o conjunto-universo
U=1,2,3
e a relação
Msubseteq Utimes U
dada por todos os pares em que x=y.
Queremos encontrar a relação complementar
M' = (Utimes U)setminus M.

Passo 2

Primeiro, listamos o produto cartesiano Utimes U, que é o conjunto de todos os pares ordenados de elementos de U:
Utimes U = (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)

Passo 3

Em seguida, escrevemos explicitamente a relação M, que aqui é a relação identidade em U:
M = (x,y)in Utimes U mid x=y = (1,1),(2,2),(3,3)

Passo 4

Por definição, a relação complementar é tudo em Utimes U que não está em M. Logo, subtraímos de
Utimes U
os elementos de
M.
Os pares restantes são
M' = (Utimes U)setminus M = (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

Resposta

M' = (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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