Determine todas as fraçōes ordinárias rs tais que r-27s=rs+12.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as frações ordinárias rs (com r,s inteiros, sneq0 e s+12neq0) tais que
r-27s ;=;rs+12
O conteúdo principal é resolver uma equação de frações por meio de multiplicação cruzada e impor condições de divisibilidade para garantir que r e s permaneçam inteiros.

Passo 2

Multiplicamos em cruz para eliminar denominadores:
(r-27),(s+12) ;=; r,s
Expandindo o lado esquerdo:
r,s +12r -27s -324 ;=; r,s
Cancelando r,s dos dois lados, sobra
12r -27s -324 = 0

Passo 3

Isolamos r em função de s:
12r = 27s +324 Longrightarrow r = 27s +32412
Para que r seja inteiro, o numerador 27s+324 deve ser múltiplo de 12.

Passo 4

Escrevemos a condição de divisibilidade:
27s +324 equiv 0 pmod12
Como 27equiv3pmod12 e 324equiv0pmod12, isso dá
3s equiv 0 pmod12 Longrightarrow s equiv 0 pmod4
Logo podemos definir s = 4k para algum kinZ. Substituindo em r:
r = 27,(4k) +32412 = 108k +32412 =9k +27

Passo 5

Restam as condições de denominador não nulo: sneq0 implica 4kneq0, ou seja kneq0; e s+12neq0 implica 4k+12neq0, ou seja kneq -3.
Portanto a solução geral é
s = 4k, r = 9k +27, kinZsetminus0,-3

Resposta

Todas as frações que satisfazem são
rs =9k+274k, kinZsetminus0,-3

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