Determine todas as fraçōes ordinárias
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as frações ordinárias
(com
inteiros,
e
) tais que
O conteúdo principal é resolver uma equação de frações por meio de multiplicação cruzada e impor condições de divisibilidade para garantir que
e
permaneçam inteiros.
Passo 2
Multiplicamos em cruz para eliminar denominadores:
Expandindo o lado esquerdo:
Cancelando
dos dois lados, sobra
Passo 3
Isolamos
em função de
:
Para que
seja inteiro, o numerador
deve ser múltiplo de 12.
Passo 4
Escrevemos a condição de divisibilidade:
Como
e
, isso dá
Logo podemos definir
para algum
. Substituindo em
:
Passo 5
Restam as condições de denominador não nulo:
implica
, ou seja
; e
implica
, ou seja
.
Portanto a solução geral é
Resposta
Todas as frações que satisfazem são