Mostre que as seguintes somas não são números inteiros:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, a soma harmônica truncada
não é um número inteiro. O truque clássico aqui é usar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e olhar na parte de fator 2 (valoração 2).
Passo 2
Definimos
Como cada
divide
, podemos reescrever
Passo 3
Seja
a maior potência de 2 que não excede
. Então
, ou seja,
contém exatamente
fatores de 2.
- Para
temos que é ímpar (remove todos os fatores 2 de ). - Para qualquer outro
, ao dividirmos por sobra pelo menos um fator de 2, logo
é par.
Passo 4
Na soma
há exatamente um termo ímpar (o de
) e todos os outros termos são pares. Portanto essa soma é ímpar. Assim o numerador de
é ímpar, enquanto o denominador
é par. Logo
não pode ser inteiro.
Resposta
Para todo
, a soma
não é um número inteiro.