Mostre que as seguintes somas não são números inteiros:
S1=12+13+ldots+1n(n>1);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n>1, a soma harmônica truncada
S1=12+13+cdots+1n
não é um número inteiro. O truque clássico aqui é usar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e olhar na parte de fator 2 (valoração 2).

Passo 2

Definimos
L = lcm(1,2,dots,n)
Como cada iin2,3,dots,n divide L, podemos reescrever
S1 =12+13+cdots+1n =L/2+L/3+cdots+L/nL

Passo 3

Seja 2^k a maior potência de 2 que não excede n. Então v2(L)=k, ou seja, L contém exatamente k fatores de 2.
  • Para i=2^k temos L2^k que é ímpar (remove todos os fatores 2 de L).
  • Para qualquer outro iin2,3,dots,n, ao dividirmos L por i sobra pelo menos um fator de 2, logo
    tfracLi é par.

Passo 4

Na soma
L2 + L3 + cdots + Ln
há exatamente um termo ímpar (o de i=2^k) e todos os outros termos são pares. Portanto essa soma é ímpar. Assim o numerador de S1 é ímpar, enquanto o denominador L é par. Logo
S1=ímparpar í
não pode ser inteiro.

Resposta

Para todo n>1, a soma
S1=12+13+cdots+1n
não é um número inteiro.

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