Determine todos os membros da seqüência
que são quadrados perfeitos de algum inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede quais termos
são quadrados perfeitos de inteiros positivos.
Conteúdo: números inteiros, quadrados perfeitos e aritmética modular. Vamos usar mod 4 para eliminar quase todos os e depois checar os casos pequenos.
Conteúdo: números inteiros, quadrados perfeitos e aritmética modular. Vamos usar mod 4 para eliminar quase todos os
Passo 2
Observemos os resíduos de quadrados perfeitos módulo 4. Um inteiro
satisfaz
Agora calculemos
para
. Temos
e como
, segue
Para
vale
, logo
Somando, para todo
:
Mas
não é um resíduo quadrático módulo 4, então
não pode ser quadrado perfeito sempre que
.
Passo 3
Restam portanto apenas os casos
e
.
- Para
:
que é quadrado perfeito.
- Para
:
e
não é quadrado perfeito.
Resposta
O único termo da sequência que é quadrado perfeito é