Determine todos os membros da seqüência an =3^2 n-1+2^n-1(n in N) que são quadrados perfeitos de algum inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 3^2n-1 + 2^,n-1, ninN,
e pede quais termos an são quadrados perfeitos de inteiros positivos.
Conteúdo: números inteiros, quadrados perfeitos e aritmética modular. Vamos usar mod 4 para eliminar quase todos os n e depois checar os casos pequenos.

Passo 2

Observemos os resíduos de quadrados perfeitos módulo 4. Um inteiro k satisfaz
k^2bmod4;in;0,1
Agora calculemos anbmod4 para n>=3. Temos
3^2n-1 = 3cdot(3^2)^,n-1 = 3cdot9^,n-1,
e como 9equiv1pmod4, segue
3^2n-1equiv3pmod4
Para n>=3 vale n-1>=2, logo
2^,n-1equiv0pmod4
Somando, para todo n>=3:
anequiv3+0equiv3pmod4
Mas 3 não é um resíduo quadrático módulo 4, então an não pode ser quadrado perfeito sempre que n>=3.

Passo 3

Restam portanto apenas os casos n=1 e n=2.
  • Para n=1:
a1=3^2cdot1-1+2^1-1=3^1+2^0=3+1=4=2^2,
que é quadrado perfeito.
  • Para n=2:
a2=3^3+2^1=27+2=29,
e 29 não é quadrado perfeito.

Resposta

O único termo da sequência que é quadrado perfeito é
a1=4

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